Soal Matematika KSN dan Pembahasan

Diketahui bahwa $a,b,c,d$ adalah bilangan bulat positif berbeda dan $abcd=2020$.
Karena $abcd=2020$ maka $a,b,c,d$ adalah faktor dari $2020$. Nilai $abcd$ yang mungkin dapat kita tentukan dengan memfaktorkan $2020$.

$\begin{align} 2020\ &= 2020 \times 1 \\ &= 1010 \times 2 \times 1 \\ &= 505 \times 2 \times 2 \times 1 \\ &= 101 \times 5 \times 2 \times 2 \times 1 \end{align}$

Dari hasil di atas, masih ada beberapa kemungkinan nilai $a,b,c,d$. Tetapi karena yang diinginkan adalah nilai terkecil $\dfrac{a+b}{c+d}$ maka kita susun nilai $a+b$ adalah yang terkecil sedangkan $c+d$ adalah yang terbesar.

$\begin{align} \dfrac{a+b}{c+d}\ &= \dfrac{1+2}{5+202} \\ &= \dfrac{3}{207} \\ &= \dfrac{1}{69} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{69}$

Untuk menentukan bilangan prima dari keempat bilangan di atas, kita harus dapat menentukan bilangan yang hanya mempunyai dua faktor, yang sesuai dengan definisi bilangan prima yaitu bagian dari bilangan asli hanya mempunyai dua faktor yaitu $1$ dan bilangan itu sendiri.

Untuk menentukan faktor-faktor dari bilangan di atas dapat digunakan ciri-ciri bilangan habis dibagi. Misalnya bilangan $2019$ habis dibagi $3$ karena jumlah $2+0+1+9=12$ habis dibagi $3$.

Bilangan $2023$ habis dibagi $7$ karena $202 – \left(3 \times 2 \right) = 196$, lalu $196$ habis dibagi $7$, karena $19 – \left(6 \times 2 \right) = 7$, dan $7$ habis dibagi $7$.

Bilangan $2021$ adalah bilangan hasil perkalian dari $43 \times 47$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2017$

$\begin{align} \dfrac{1}{3}\Delta \left( x+1,x-2,5 \right) &= \left( x-2 \right)\left( x+2 \right) \\ \Delta \left( x+1,x-2,5 \right) &= 3\left( x-2 \right)\left( x+2 \right) \\ \left( (x+1)(x-2)+(x+1)(5)+(x-2)(5) \right) &= 3\left( x^{2}-4 \right) \\ x^{2}-x-2+5x+5+5x-10 &= 3x^{2}-12 \\ x^{2}+9x-7 &= 3x^{2}-12 \\ 0 &= 2x^{2}-9x-5 \\ 0 &= \left( 2x+1 \right)\left( x-5 \right)\\ x=-\dfrac{1}{2}\ & \text{atau}\ x=5 \end{align}$

$\begin{align} 2x_{1}-3x_{2} &= 2\left( -\dfrac{1}{2} \right) -3 \left( 5 \right) \\ &= -1 -15 =-16 \\ \hline 2x_{1}-3x_{2} &= 2\left( 5 \right) -3 \left( -\dfrac{1}{2} \right) \\ &= 10 + \dfrac{3}{2} =\dfrac{23}{2} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D\ \dfrac{23}{2}$

Jumlah $n$ suku pertama Deret aritmatika $S_{n}$ adalah $450$, Suku pertama $a$ adalah $n$, dan suku ke-$n$ adalah $45$. Dari beberapa informasi pada soal tersebut dapat kita tuliskan:

$\begin{align} S_{n}\ & = \dfrac{n}{2} \left(a+u_{n} \right) \\ 450 & = \dfrac{n}{2} \left(n+45 \right) \\ 900 & = n \left(n+45 \right) \\ 900 & = n^{2}+45n \\ 0 & = n^{2}+45n-900 \\ 0 & = \left(n-15 \right)\left(n+60 \right) \\ \end{align}$
Karena $n$ adalah banyak suku sehingga $n$ adalah bilangan bulat positif, maka nilai $n$ yang memenuhi adalah $n=15$.

Untuk $n=15$, maka kita peroleh:
$\begin{align} u_{n}\ & = a+ \left(n-1 \right)b \\ 45\ & = 15+ \left(15-1 \right)b \\ 45-15\ & = 14b \\ 30\ & = 14b \\ \dfrac{30}{14} & = b \\ \dfrac{15}{7} & = b \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\dfrac{15}{7}$

Soal di atas sudah kita modifikasi dari soal aslinya, soal aslinya adalah seperti berikut ini dan tidak ada solusinya.

Dari beberapa informasi pada soal tersebut dapat kita tuliskan:

$\begin{align} S_{n}\ & = \dfrac{n}{2} \left(a+u_{n} \right) \\ 450 & = \dfrac{n}{2} \left(n+3 \right) \\ 900 & = n \left(n+3 \right) \\ 900 & = n^{2}+3n \\ 0 & = n^{2}+3n-900 \\ \end{align}$
Karena $n$ adalah banyak suku sehingga $n$ adalah bilangan bulat positif. Pada persamaan $n^{2}+3n-900 $ tidak ada $n$ bilangan bulat postif yang memenuhi, sehingga soal di atas tidak dapat diselesaikan.

Untuk $f(x)=5x-3$ dan $\left(f(x) \right)^{2}−6f(x)=−9$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \left(f(x) \right)^{2}−6f(x) &= −9 \\ \left( 5x-3 \right)^{2}−6\left( 5x-3 \right) &= -9 \\ 25x^{2}-30x+9−30x+18 &= −9 \\ 25x^{2}-60x+27 &= −9 \\ 25x^{2}-60x+27+9 &= 0 \\ 25x^{2}-60x+36 &= 0 \\ \hline x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\ &= -\dfrac{-60}{25} \\ &= \dfrac{12}{5} \\ \end{align}$

Soal ini jika dikerjakan dengan rumus jumlah akar-akar seperti di atas tidak kita temukan jawabnya. Tetapi permintaan soal sepertinya lebih khusus lagi yaitu "jumlah nilai $x$ yang memenuhi".

Persamaan $25x^{2}-60x+36 = 0$ akar-akarnya adalah kembar sehingga nilai $x$ yang memenuhi hanya satu maka penjumlahan nilai $x$ yang memenuhi hanya $x=\dfrac{6}{5}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{6}{5}$

Dari informasi pada soal jika volume tabung dan kerucut kerucut kita bandingkan maka akan kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{V_{tab}}{V_{ker}}\ & =\dfrac{\pi \times r^{2} \times t}{\frac{1}{3} \pi \times r^{2} \times t} \\ \dfrac{490 \pi}{30 \pi}\ & =\dfrac{\pi \times R_{t}^{2} \times 3600}{\frac{1}{3} \pi \times R_{k}^{2} \times 3600} \\ \dfrac{49}{3}\ & =\dfrac{R_{t}^{2} }{\frac{1}{3} R_{k}^{2} } \\ \dfrac{49}{9}\ & =\dfrac{R_{t}^{2} }{ R_{k}^{2} } \\ \left( \dfrac{7}{3} \right)^{2}\ & =\left( \dfrac{R_{t} }{ R_{k} } \right)^{2} \\ \dfrac{7}{3}\ & = \dfrac{R_{t} }{ R_{k} } \\ 7R_{k}\ & =3R_{t} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3R_{t}=7R_{k}$

Sebagai perbaikan itu, itu adalah gambar seperempat lingkaran. Dari gambar dapat kita perhatikan bahwa keliling yang diarsir adalah:
$\begin{align} & BC+CD+DE+EF+FB \\ & = BC+CD+EF+DE+FB \\ & = BC+CA+AB \\ & = BC+6+6 \\ & = \dfrac{1}{4} \times 2 \pi r+12 \\ & = \dfrac{1}{4} \times 2 \pi (6)+12 \\ & = 3 \pi+12 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3 \pi+12$

Volume kerucut adalah:
$\begin{align} V\ & = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2}t \\ 600 \pi\ cm^{3} & = \dfrac{1}{3} \times \pi (10\ cm)^{2}\ t \\ 1.800 \pi\ cm^{3} & = \pi\ 100\ cm^{2}\ t \\ 18 cm & = t \end{align}$

Dengan tinggi kerucut $18$ cm maka tinggi balok adalah $9$ cm. Jika kita gambarkan kerucut dan balok kurang lebih seperti berikut ini.

Volume balok maksimum terjadi saat titik sudut balok bagian atas bersinggungan dengan sisi kerucut. Karena $t_{K}=18\ cm$ dan $t_{B}=9\ cm$ maka $CD=\dfrac{1}{2}AB$

Volume balok maksimum adalah:
$\begin{align} V\ &=L_{alas} \times t \\ &=\dfrac{10\ cm \times 10\ cm}{2} \times 9\ cm \\ &=450\ cm^{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 450\ cm^{3}$

Contoh susunan lukisan cat air $(A)$ dan cat minyak $(M)$ adalah $MAMAMAMM$ atau $MAMAMMAM$.

Pertama yang kita susun adalah lukisan cat minyak.
Banyak susunan lukisan cat minyak adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|cc}
M & - & M & - & M & - & M & - & M\\ \hline 5 & - & 4 & - & 3 & - & 2 & - & 1 \\ \end{array} $
Banyak susunan cat minyak adalah $5!=120$ susunan.

Selanjutnya untuk menyusun cat air di tempat yang tersedia di atas, ada dua hal yang harus kita perhatikan:
Pertama, kita akan pilih $3$ lukisan ke $4$ tempat yang tersedia. Caranya $C(4,3)=\dfrac{4!}{3!(4-3)!}=4$
Kedua, banyak susunan $3$ cat air pada tempat yang tersedia adalah $3!=6$ susunan.
Banyak susunan cat air adalah $4 \times 6=24$ susunan.

Susunan keseluruhan adalah susunan cat minyak dan susunan cat air, yaitu $120 \times 24 =2880$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2880$

Soal di atas sudah kita modifikasi dari soal aslinya, soal aslinya adalah seperti berikut ini dan tidak ada hubungan antara pertanyaan dan yang diketahui pada soal.

Dari pelemparan sebuah dadu bersisi enam, maka hasil yang mungkin adalah $\{1,2,3,4,5,6 \}$ dan rata-rata mata dadu yang keluar adalah $\dfrac{1}{4}n$.
Sehingga nilai dari $\dfrac{1}{4}n$ adalah:
\begin{align} 1 \leq & \dfrac{1}{4}n \leq 6 \\ 4 \leq & n \leq 24 \end{align}

Jika $x_{1},x_{2}$ sampai $x_{n}$ adalah mata dadu yang keluar pada pelemaparan pertama, kedua, sampai ke-$n$ dan $n$ banyak percobaan. Maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n} &=\bar{x} \\ \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n} &=\dfrac{1}{4}n \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n} &=\dfrac{1}{4}n^{2} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n} &= \left( \dfrac{n}{2} \right)^{2} \end{align}$

Dengan $4 \leq n \leq 24$ bilangan bulat (banyak percobaan) dan jumlah mata dadu $\left( \dfrac{n}{2} \right)^{2}$ juga bilangan bulat maka $n$ yang mungkin adalah $4,$ $6,$ $8,$ $10,$ $12,$ $14,$ $16,$ $18,$ $20,$ $22,$ dan $24$.
Median dari seluruh nilai $n$ yang mungkin adalah $14$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 14$